Raíz cuadrada paso a paso desde cero
Si sabes multiplicar, ya tienes todo lo necesario para entender la raíz cuadrada. Vamos a construirla desde la idea más simple hasta el cálculo a mano.
La idea: el lado de un cuadrado
Un cuadrado de 5 cm de lado tiene un área de 5 × 5 = 25 cm². La raíz cuadrada hace el camino inverso: si un cuadrado tiene 25 cm² de área, ¿cuánto mide su lado? La respuesta es √25 = 5 cm. Por eso, elevar al cuadrado y hacer la raíz cuadrada son operaciones inversas.
Los cuadrados perfectos
Conviene saberse de memoria estos resultados, porque son la base de todo lo demás:
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 |
Estimar una raíz que no es exacta
¿Cuánto vale √40? Buscamos los dos cuadrados perfectos entre los que está: 36 < 40 < 49, así que 6 < √40 < 7. Como 40 está más cerca de 36 que de 49, la raíz estará más cerca de 6. Probamos 6,3² = 39,69 y 6,4² = 40,96. Por tanto, √40 ≈ 6,32.
El método de la casita (algoritmo clásico)
Sirve para calcular raíces a mano con tantos decimales como quieras. Veamos √1.369:
- Agrupa las cifras de dos en dos desde la derecha: 13 | 69.
- Primer grupo (13): busca el mayor número cuyo cuadrado no pase de 13. Es 3 (3² = 9). Escribe 3 en el resultado y resta: 13 − 9 = 4.
- Baja el siguiente grupo: junto al 4 queda 469.
- Duplica lo que llevas en el resultado: 3 × 2 = 6. Busca una cifra c tal que (60 + c) × c no pase de 469. Con c = 7: 67 × 7 = 469. ¡Exacto!
- Escribe 7 en el resultado: √1.369 = 37, con resto 0.
Si el resto no es 0 y quieres decimales, pon una coma en el resultado, baja un par de ceros y repite los pasos 4 y 5.
Simplificar raíces
Cuando la raíz no es exacta, se puede escribir de forma más sencilla usando la factorización:
- √50 = √(25 × 2) = 5√2
- √48 = √(16 × 3) = 4√3
- √200 = √(100 × 2) = 10√2
El truco es buscar el mayor cuadrado perfecto que divida al número.
Propiedades útiles
- √(a × b) = √a × √b. Por ejemplo, √(4 × 9) = 2 × 3 = 6.
- √(a ÷ b) = √a ÷ √b. Por ejemplo, √(25/16) = 5/4.
- Cuidado: √(a + b) no es √a + √b. √(9 + 16) = √25 = 5, pero √9 + √16 = 7.
¿Y la raíz de un número negativo?
√(−9) no existe entre los números reales, porque tanto 3² como (−3)² dan 9. Para resolverlo se inventaron los números complejos, que se estudian en Bachillerato. La raíz cúbica sí admite negativos: ∛(−8) = −2.
Practica con la calculadora de raíz cuadrada. Introduce tus propios números y revisa cada paso del procedimiento.
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