Factorización prima: qué es y para qué sirve
Los números primos son los ladrillos con los que se construyen todos los demás números. Descomponer un número en primos es como leer su receta.
Qué es un número primo
Un número primo es un número natural mayor que 1 que solo tiene dos divisores: el 1 y él mismo. Los primeros son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… El 2 es el único primo par. Los números mayores que 1 que no son primos se llaman compuestos.
Qué es la factorización prima
Factorizar un número en primos es escribirlo como producto de números primos. Por ejemplo:
- 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
- 90 = 2 × 3² × 5
- 1.001 = 7 × 11 × 13
El teorema fundamental de la aritmética asegura que esta descomposición existe siempre y es única (sin contar el orden). Por eso se habla de «la» factorización de un número.
Cómo se hace: divisiones sucesivas
El método clásico usa una línea vertical. A la izquierda se escribe el número y a la derecha el primo por el que se divide:
Resultado: 180 = 2² × 3² × 5. Siempre se prueba con el primo más pequeño posible y se sigue hasta llegar a 1.
Para qué sirve
Máximo común divisor (MCD)
Se toman los factores comunes con el menor exponente. MCD(180, 84): 180 = 2² × 3² × 5 y 84 = 2² × 3 × 7. Comunes: 2² y 3. MCD = 12.
Mínimo común múltiplo (mcm)
Se toman todos los factores, comunes y no comunes, con el mayor exponente. mcm(180, 84) = 2² × 3² × 5 × 7 = 1.260. Es imprescindible para sumar fracciones con distinto denominador.
Simplificar fracciones
84/180: dividimos numerador y denominador entre el MCD, 12, y queda 7/15, que ya es irreducible.
Simplificar raíces
√180 = √(2² × 3² × 5) = 2 × 3 × √5 = 6√5. Cada pareja de factores iguales sale de la raíz.
Contar divisores
Con 180 = 2² × 3² × 5¹, el número de divisores es (2+1)(2+1)(1+1) = 18.
Una aplicación sorprendente: la criptografía
Multiplicar dos primos grandes es fácil para un ordenador, pero hacer lo contrario, descomponer el producto en sus dos primos, es extremadamente difícil cuando los números tienen cientos de cifras. Sistemas de cifrado como RSA, que se han usado para proteger comunicaciones en internet, se basan en esa asimetría.
Trucos para no atascarse
- Aplica los criterios de divisibilidad del 2, 3 y 5 antes de probar otros primos.
- Solo tienes que probar primos hasta la raíz cuadrada del número. Si llegas ahí sin encontrar divisores, el número es primo.
- Comprueba el resultado multiplicando todos los factores.
Practica con la calculadora de factorización prima. Introduce tus propios números y revisa cada paso del procedimiento.
Abrir la calculadora de factorización prima