Números racionales e irracionales: diferencias y ejemplos
Todos los números con los que calculas a diario son reales, pero no todos son iguales. Unos se pueden escribir como fracción y otros no, y esa diferencia tiene consecuencias.
Números racionales
Un número es racional si se puede escribir como una fracción a/b de dos números enteros, con b distinto de 0. El conjunto se representa con la letra ℚ (de «cociente»).
Son racionales:
- Todos los enteros: 5 = 5/1, −3 = −3/1, 0 = 0/1.
- Las fracciones: 3/4, −7/2.
- Los decimales exactos: 0,25 = 1/4; 1,6 = 8/5.
- Los decimales periódicos: 0,333… = 1/3; 0,1666… = 1/6.
Números irracionales
Un número es irracional si no se puede escribir como fracción de enteros. Su expresión decimal tiene infinitas cifras y no se repite nunca con un patrón fijo.
Los ejemplos más conocidos son:
- √2 ≈ 1,41421356…, la diagonal de un cuadrado de lado 1.
- π ≈ 3,14159265…, la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
- e ≈ 2,71828182…, la base de los logaritmos neperianos.
- φ (número áureo) = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,6180339…
Cómo distinguirlos por sus decimales
| Tipo de decimal | Ejemplo | ¿Racional? |
|---|---|---|
| Exacto (termina) | 2,375 | Sí |
| Periódico puro | 0,272727… | Sí (= 3/11) |
| Periódico mixto | 0,8333… | Sí (= 5/6) |
| Infinito no periódico | 1,7320508… | No (= √3) |
Un detalle curioso: una calculadora siempre muestra un número limitado de decimales, así que en pantalla no se puede distinguir un periódico largo de un irracional. Hay que saberlo por el origen del número.
Raíces: cuándo son racionales
La raíz cuadrada de un número natural es racional solo si ese número es un cuadrado perfecto. √49 = 7 es racional; √50 es irracional. Lo mismo ocurre con las raíces cúbicas y los cubos perfectos: ∛27 = 3, pero ∛28 es irracional.
Por qué √2 no puede ser una fracción
La demostración clásica, atribuida a la escuela pitagórica, es por reducción al absurdo. Supongamos que √2 = a/b con la fracción ya simplificada. Entonces 2 = a²/b², así que a² = 2b² y a² es par. Si a² es par, a también lo es; escribamos a = 2k. Entonces 4k² = 2b², es decir, b² = 2k², y b también es par. Pero si a y b son pares, la fracción no estaba simplificada. Contradicción: √2 no es racional.
Los números reales
Los racionales y los irracionales juntos forman los números reales (ℝ), que llenan por completo la recta numérica. Entre dos racionales cualesquiera hay infinitos irracionales, y viceversa.
La clasificación completa, de menor a mayor, es: naturales (ℕ) ⊂ enteros (ℤ) ⊂ racionales (ℚ) ⊂ reales (ℝ). Los irracionales son los reales que quedan fuera de ℚ.
Operaciones entre ellos
- Racional + racional siempre da racional.
- Racional (distinto de 0) × irracional da irracional: 3√2 es irracional.
- Irracional × irracional puede dar racional: √2 × √2 = 2.
Practica con la calculadora de raíz cuadrada. Introduce tus propios números y revisa cada paso del procedimiento.
Abrir la calculadora de raíz cuadrada