División de fracciones: cómo se hace y por qué funciona
Dividir fracciones es sencillo una vez conoces el método. Lo interesante es entender por qué funciona, porque así ya no se olvida.
El método: multiplicar por la inversa
Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera por la inversa de la segunda. La inversa de una fracción se obtiene intercambiando numerador y denominador: la inversa de 2/5 es 5/2.
a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a × d) / (b × c)
Ejemplo: 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8.
El método equivalente: en cruz
Muchos profesores lo enseñan como «multiplicar en cruz»: el numerador del resultado es el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador del resultado es el denominador de la primera por el numerador de la segunda.
3/4 ÷ 2/5 → numerador 3 × 5 = 15; denominador 4 × 2 = 8 → 15/8. Es exactamente lo mismo, solo que sin escribir la inversa.
Por qué funciona
Dividir es preguntar «¿cuántas veces cabe esto en aquello?». ¿Cuántas veces cabe 1/2 en 3? Seis veces, porque cada unidad contiene dos medios. Es decir, 3 ÷ 1/2 = 6 = 3 × 2. Dividir entre 1/2 es lo mismo que multiplicar por 2.
En general, dividir entre c/d equivale a multiplicar por d/c porque c/d × d/c = 1: la inversa «deshace» la fracción.
Dividir un entero entre una fracción (y al revés)
Escribe el entero como fracción con denominador 1:
- 6 ÷ 3/4 = 6/1 × 4/3 = 24/3 = 8. En 6 unidades caben 8 trozos de tres cuartos.
- 3/4 ÷ 6 = 3/4 × 1/6 = 3/24 = 1/8. Repartir tres cuartos entre 6 da un octavo a cada uno.
Simplificar antes de multiplicar
Cuando los números son grandes, conviene simplificar en cruz antes de multiplicar. En 8/15 ÷ 4/9 = 8/15 × 9/4, podemos dividir el 8 y el 4 entre 4, y el 9 y el 15 entre 3: queda 2/5 × 3/1 = 6/5. Si multiplicamos sin simplificar, obtenemos 72/60, que también da 6/5 al simplificar, pero con más trabajo.
Fracciones con números mixtos
Convierte primero los números mixtos en fracciones impropias. 2 ½ ÷ 1 ¼ = 5/2 ÷ 5/4 = 5/2 × 4/5 = 20/10 = 2. Tiene sentido: en dos unidades y media caben exactamente dos trozos de una unidad y cuarto.
Errores frecuentes
- Invertir la primera fracción en lugar de la segunda.
- Dividir numerador entre numerador y denominador entre denominador. A veces funciona (6/8 ÷ 3/4 = 2/2), pero solo cuando las divisiones son exactas.
- Olvidar simplificar el resultado final.
- Dividir entre una fracción que vale 0. 0/5 no tiene inversa, así que no se puede dividir entre ella.
Practica
- 5/6 ÷ 5/12 (Solución: 2)
- 7/3 ÷ 14 (Solución: 1/6)
- 9 ÷ 3/8 (Solución: 24)
Practica con la calculadora de fracciones. Introduce tus propios números y revisa cada paso del procedimiento.
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