La propiedad distributiva: qué es, fórmula y ejemplos
La propiedad distributiva conecta la multiplicación con la suma. Entenderla permite calcular de cabeza con más rapidez y es imprescindible para el álgebra.
Definición
La propiedad distributiva dice que multiplicar un número por una suma es lo mismo que multiplicar ese número por cada sumando y después sumar los resultados:
a × (b + c) = a × b + a × c
También funciona con la resta: a × (b − c) = a × b − a × c.
Por ejemplo: 4 × (10 + 3) = 4 × 13 = 52, y también 4 × 10 + 4 × 3 = 40 + 12 = 52. Llegamos al mismo resultado por dos caminos.
Una forma visual de entenderla
Imagina un rectángulo de 4 filas y 13 columnas de cuadraditos. Tiene 4 × 13 cuadraditos. Si lo cortas en dos trozos, uno de 4 × 10 y otro de 4 × 3, el número total de cuadraditos no cambia. La propiedad distributiva es exactamente eso: partir un rectángulo en dos y contar cada trozo por separado.
Para qué sirve en el cálculo mental
Muchas multiplicaciones difíciles se vuelven fáciles si descomponemos uno de los factores:
- 7 × 48 = 7 × (50 − 2) = 350 − 14 = 336.
- 6 × 105 = 6 × 100 + 6 × 5 = 600 + 30 = 630.
- 25 × 12 = 25 × (10 + 2) = 250 + 50 = 300.
La multiplicación en columna que se aprende en Primaria también se basa en esta propiedad: 346 × 27 se calcula como 346 × 20 + 346 × 7.
El camino inverso: sacar factor común
Si leemos la igualdad de derecha a izquierda, obtenemos otra herramienta muy útil: a × b + a × c = a × (b + c). Esto se llama sacar factor común.
Ejemplo numérico: 17 × 8 + 17 × 2 = 17 × (8 + 2) = 17 × 10 = 170. Mucho más rápido que hacer las dos multiplicaciones.
En álgebra se usa constantemente para simplificar expresiones: 6x + 9 = 3(2x + 3), o x² + 5x = x(x + 5).
La propiedad distributiva en álgebra
Al resolver ecuaciones, lo primero suele ser quitar paréntesis aplicando la distributiva:
3(x + 4) = 27 → 3x + 12 = 27 → 3x = 15 → x = 5.
Hay que tener especial cuidado con los signos cuando delante del paréntesis hay un número negativo o un signo menos, porque multiplica a todos los términos:
−2(x − 5) = −2x + 10, no −2x − 10.
5 − (x + 3) = 5 − x − 3 = 2 − x. El signo menos cambia el signo de cada término del paréntesis.
Errores frecuentes
- Multiplicar solo el primer término: escribir 3(x + 4) = 3x + 4. El 3 multiplica a todo lo que hay dentro.
- Olvidar el cambio de signo: −(a − b) es −a + b.
- Aplicarla donde no se puede: la multiplicación se distribuye sobre la suma, pero la suma no se distribuye sobre la multiplicación. 2 + (3 × 4) no es (2 + 3) × (2 + 4).
- Confundirla con las potencias: (a + b)² no es a² + b². Es (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b², que se obtiene aplicando la distributiva dos veces.
Ejercicios para practicar
- Calcula de cabeza 9 × 53 usando 9 × (50 + 3). Solución: 450 + 27 = 477.
- Saca factor común en 12x − 18. Solución: 6(2x − 3).
- Quita paréntesis en −4(2x − 1). Solución: −8x + 4.
Practica con la calculadora de multiplicación. Introduce tus propios números y revisa cada paso del procedimiento.
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